Matemática básica Ejemplos

$a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$

Paso 1

Divide cada término en $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ por $b^{r - p}$ y simplifica.

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Paso 1.1

Divide cada término en $a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q} = 1$ por $b^{r - p}$ .

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Paso 1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.1

Cancela el factor común de $b^{r - p}$ .

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Paso 1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{q - r} \cdot b^{r - p} \cdot c^{p - q}}{b^{r - p}} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Paso 1.2.1.2

Divide $a^{q - r} \cdot c^{p - q}$ por $1$ .

$a^{q - r} \cdot c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

$a^{q - r} c^{p - q} = \frac{1}{b^{r - p}}$

Paso 2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (a^{q - r} c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Paso 3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.1

Reescribe $\ln (a^{q - r} c^{p - q})$ como $\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q})$ .

$\ln (a^{q - r}) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Paso 3.2

Expande $\ln (a^{q - r})$ ; para ello, mueve $q - r$ fuera del logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + \ln (c^{p - q}) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Paso 3.3

Expande $\ln (c^{p - q})$ ; para ello, mueve $p - q$ fuera del logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (\frac{1}{b^{r - p}})$

Paso 4

Expande el lado derecho.

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Paso 4.1

Reescribe $\ln (\frac{1}{b^{r - p}})$ como $\ln (1) - \ln (b^{r - p})$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - \ln (b^{r - p})$

Paso 4.2

Expande $\ln (b^{r - p})$ ; para ello, mueve $r - p$ fuera del logaritmo.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = \ln (1) - ((r - p) \ln (b))$

Paso 4.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = 0 - ((r - p) \ln (b))$

Paso 4.4

Resta $(r - p) \ln (b)$ de $0$ .

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - ((r - p) \ln (b))$

Paso 4.5

Elimina los paréntesis.

$(q - r) \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + (p - q) \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - (r - p) \ln (b)$

Paso 6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1

Simplifica $- (r - p) \ln (b)$ .

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Paso 6.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r - - p) \ln (b)$

Paso 6.1.2

Multiplica $- - p$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + 1 p) \ln (b)$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $p$ por $1$ .

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = (- r + p) \ln (b)$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$q \ln (a) - r \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Paso 7

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.1

Mueve $- r \ln (a)$ .

$q \ln (a) + p \ln (c) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Paso 7.2

Reordena $q \ln (a)$ y $p \ln (c)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = - r \ln (b) + p \ln (b)$

Paso 8

Reordena $- r \ln (b)$ y $p \ln (b)$ .

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) = p \ln (b) - r \ln (b)$

Paso 9

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$p \ln (c) + q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = 0$

Paso 10

Mueve todos los términos que no contengan $q$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 10.1

Resta $p \ln (c)$ de ambos lados de la ecuación.

$q \ln (a) - q \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c)$

Paso 10.2

Suma $r \ln (a)$ a ambos lados de la ecuación.

$q \ln (a) - q \ln (c) - p \ln (b) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a)$

Paso 10.3

Suma $p \ln (b)$ a ambos lados de la ecuación.

$q \ln (a) - q \ln (c) + r \ln (b) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)$

Paso 10.4

Resta $r \ln (b)$ de ambos lados de la ecuación.

$q \ln (a) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Paso 11

Factoriza $q$ de $q \ln (a) - q \ln (c)$ .

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Paso 11.1

Factoriza $q$ de $q \ln (a)$ .

$q (\ln (a)) - q \ln (c) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Paso 11.2

Factoriza $q$ de $- q \ln (c)$ .

$q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r (\ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Paso 11.3

Factoriza $q$ de $q (\ln (a)) + q (- 1 \ln (c))$ .

$q (\ln (a) - 1 \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Paso 12

Reescribe $- 1 \ln (c)$ como $- \ln (c)$ .

$q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$

Paso 13

Divide cada término en $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ por $\ln (a) - \ln (c)$ y simplifica.

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Paso 13.1

Divide cada término en $q (\ln (a) - \ln (c)) = - p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)$ por $\ln (a) - \ln (c)$ .

$\frac{q (\ln (a) - \ln (c))}{\ln (a) - \ln (c)} = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.1

Cancela el factor común de $\ln (a) - \ln (c)$ .

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Paso 13.2.1.1

Cancela el factor común.

Paso 13.2.1.2

Divide $q$ por $1$ .

$q = \frac{- p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{- r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$q = - \frac{p \ln (c)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2

Simplifica los términos.

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Paso 13.3.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a)}{\ln (a) - \ln (c)} + \frac{p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)} - \frac{r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$q = \frac{- p \ln (c) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.4

Factoriza $- 1$ de $- p \ln (c)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) + r \ln (a) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.5

Factoriza $- 1$ de $r \ln (a)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c)) - (- r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.6

Factoriza $- 1$ de $- (p \ln (c)) - (- r \ln (a))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) + p \ln (b) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.7

Factoriza $- 1$ de $p \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.8

Factoriza $- 1$ de $- (p \ln (c) - r \ln (a)) - (- p \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.9

Factoriza $- 1$ de $- r \ln (b)$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.10

Factoriza $- 1$ de $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b)) - (r \ln (b))$ .

$q = \frac{- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 13.3.2.11.1

Reescribe $- (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ como $- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))$ .

$q = \frac{- 1 (p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b))}{\ln (a) - \ln (c)}$

Paso 13.3.2.11.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$q = - \frac{p \ln (c) - r \ln (a) - p \ln (b) + r \ln (b)}{\ln (a) - \ln (c)}$